BENTUK PANGKAT/EKSPONEN, AKAR DAN LOGARITMA.
Kompetensi Dasar : 1.1. Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan logaritma dalam pemecahan masalah
1.2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan tehnis yang ber- kaitan dengan pangkat, akar dan logaritma.
Pengalaman Belajar
1.1.1. Mendefinisikan pangkat, akar dan logaritma.
1.1.2. Mendiskripsikan pangkat, akar dan logaritma, serta hubungan satu dengan yang lainnya.
1.1.3. Mengaplikaikan rumus-rumus pangkat / eksponen.
1.1.4. Mengaplikaikan rumus-rumus bentuk akar.
1.1.5. Mengaplikaikan rumus-rumus logaritma.
Prasyarat:
1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat.
2. Operasi hitung dalam aljabar.
A. BENTUK PANGKAT/EKSPONEN DAN BENTUK AKAR
A.1. BENTUK PANGKAT / EKSPONEN.
Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pangkat/eksponen dan bentuk akar diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti dian- tara beberapa pola berikut ini:
Masalah 1: Tentukan dan jabarkan bentuk : a. 35 b. 56 c. 104
Penyelesaian :
a. 35 = 3 x …. x ….. x ….. x ….. = 243
b. 56 = …. x …. x ….. x ….. x ….. x …… = …….
c. 104 = …. x ….. x ….. x ….. = ………
Penarikan kesimpulan:
an = …. x ….. x ….. x …… x ….. x a , di mana : an dibaca a pangkat n
n factor a disebut bilangan pokok atau basis.
n disebut pangkat atau eksponen
an disebut bilangan berpangkat.
A.1.1. PANGKAT BULAT POSITIF.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti di antara beberapa pola berikut ini:
Masalah 2: Tentukan nilai dari:
a. 43 x 42 b. 24 x 25
Penyelesaian :
a. 43 x 42 = ( 4 x …. x 4 ) x ( 4 x ….. ) = ( 4 x ….. x ….. x ….. x ….) = 43 + 2 = 4…..
3 faktor 2 faktor (3 + 2) factor
LKS-Mat.X-01
LKS-Mat.X-02
b. 24 x 25 = ( 2 x …. x …. x …. ) x ( 2 x …. x …. x …. x 2 )
= ( …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. ) = 2…..
Penarikan kesimpulan:
ap . aq = ( a x a x a x … x a ) ( a x a x a x … x a) = ( a x a x a x .. x a ) = a … + ….
…. factor …. factor ( … + …. ) factor
Sifat 1 : ap . aq = a …. + ……
Masalah 3 : Tentukan nilai dari: a. b.
Penyelesaian : 5 faktor 3 faktor
a. = = x ( 4 x ….. ) = 1 x ( 4 x ….. ) = 42 = 4 5 - 3
3 faktor 3 faktor 2 faktor
8 faktor 4 faktor 4 faktor
b. = = x ( 3 x ….. x ….. x….. )
4 faktor 4 faktor
= 1 x ( 3 x …..x…..x….. ) = 3 x …. x …. x 3 = 34 = 3 ….. - …..
4 faktor 4 faktor
Penarikan kesimpulan:
p faktor q faktor ( p - …. ) faktor
= = . ( a x ….. x ….. x….. )
q faktor q faktor
= 1 x ( a x …..x…..x a ) = a x a x …. x a = a…. - ……
( …. - …. ) faktor ( ….. - …. ) faktor
Sifat 2 : = a ….. - ……
Masalah 4 : Tentukan nilai dari: ( 2 x 5 )3
Penyelesaian : 3 faktor 3 faktor 3 faktor
( 2 x 5 )3 = ( 2 x 5 ) x ( … x … ) x ( …x 5 ) = ( 2 x … x 2 ) x ( 5 x …x … ) = 2 … . 5 ….
Penarikan kesimpulan:
( a . b )p = ( a x b ) x ( … x … )x … x ( … x b ) = ( a x … x … x a ) x ( b x .…x … x b)
p factor p factor p factor
= a … . b ….
LKS-Mat.X-03
Sifat 3 : ( a . b ) p = a ….. . b p
Masalah 5 : Tentukan nilai dari: ( 53 )4
Penyelesaian :
4 faktor 4 faktor
( 53 )4 = 53 x 5…. x … x 53 = ( 5 x ….x 5 ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. )
3 faktor 3 faktor , 3 faktor 3 faktor
= 5 x …. x …. x ….. x …. x …. x ….. x ….. x ….. x …. x …. x 5 = 5 …. x ….. = 5……
2 faktor atau { ( …. x …. ) factor }
Sifat 4 : ( a p ) q = a … x …..
Masalah 6 : Tentukan nilai dari: ( )4
Penyelesaian : 4 faktor 4 faktor
( )4 = x x ….. x = =
4 faktor
Sifat 5 : ( ) p =
A.1.2. PANGKAT BULAT NOL DAN NEGATIF.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna membuktikan kebenaran hubungan yang pasti di antara beberapa pola berikut ini:
Masalah 7 : Buktikan bahwa: a. ao = 1 b. a-p =
Bukti : a. Akan dibuktikan ao = 1
Ambil sifat 1 : ap . aq = a …. + …… , missal : p = 0 didapat:
a…. . aq = a 0 + …… = a …..
a 0 = = ……. Terbukti.
Sifat 6 : a 0 = 1
b. Akan dibuktikan a-p =
Ambil sifat 1 : ap . aq = a …. + …… , missal : q = -p didapat:
a…. . a….. = a ….. – p = a …..
a –p = = Terbukti.
LKS-Mat.X-04
Sifat 7 : a-p =
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Sederhanakan bentuk-bentuk di bawah ini dengan menggunakan sifat-sifat bilangan pangkat!
a. 4p2 x 2p3 x 23p c. 10y7 : 2y2 e. 6d8 : ( 3d2 x 2d2 )
b. ( -k3 )2 : k4 d. ( -m5 : m2 )4 x m7 f. ( -6u3v )4 : ( 2uv2)2
2. Ubah ke dalam bentuk pangkat negative !
a. b. c.
3. Ubah ke dalam bentuk pangkat positif !
a. a-6b4 x a2b-2 c. e.
b. (5m2n-3)-2 x 2(m-2n3)2 d. f.
A.2. PANGKAT RASIONAL / PECAHAN ATAU BENTUK AKAR.
Bentuk akar ialah akar bilangan rasional yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional.
Definisi: adalah bilangan non negative sedemikian hingga . = a
Dengan menggunakan sifat 1 : ap . aq = a p + q akan kita coba membuktikan hubungan pangkat pecahan dan bentuk akar, sebagai berikut:
. = a berarti sehingga : =
= a berarti sehingga
Sehingga dapat disimpulkan berlakunya : Sifat 8 :
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Nyatakan dalam bentuk pangkat rasional/pecahan !
a. b. c.
2. Nyatakan dalam bentuk akar !
a. b. c.
3. Sederhanakan bentuk di bawah ini !
a. b. c.
LKS-Mat.X-05
4. Hitung nilai dari !
a. 64 b. c.
A.2.a. OPERASI HITUNG BENTUK AKAR.
a.1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar.
Bentuk akar yang dapat dijumlahkan atau dikurangi hanyalah bentuk akar yang sejenis / sama.
Masalah 8 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini:
a. 2 + 5 b. 4 -
Penyelesaian:
a. 2 + 5 = ( 2 + …. ) = … b. 4 - = (…. - ….) = ….
Penarikan Kesimpulan : a b = ( a …. )
a.2. Perkalian bentuk akar.
Masalah 9 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini:
a. x b. 4 x 2
Penyelesaian:
a. x = b. 4 x 2 = ( 4 x…. )
Penarikan Kesimpulan : =
a.3. Menyederhanakan bentuk akar.
Masalah 10 : Sederhanakan bentuk akar di bawah ini:
a. b. x
Penyelesaian:
a.
b. x = x = …. x …. = ( …. x…. ) = ….
A.2..b. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK AKAR.
Guna menyederhanakan penyebut bentuk akar dari suatu pecahan perlu dipahami tentang operasi perkalian pada bentuk akar, dan diskusikan beberapa permasalahan berikut ini:
Masalah 11 : Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini:
a. b.
Penyelesaian:
a. = x 1 = x =
LKS-Mat.X-06
b. = x 1= x = =
Di mana : dan disebut bentuk akar yang saling sekawan dan jika di-
kalikan menghasilkan bilangan Real: - = 3 – 2 = 1
Penarikan Kesimpulan :
a.
b. =
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Nyatakan ke dalam bentuk akar yang paling sederhana !
a. b. c.
2. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini !
a. b. c.
3. Diketahui x = 2 dan y = . Tentukan nilai dari :
a. x2 y b. x2 + 2xy + y2 c.
B. BENTUK LOGARITMA.
Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut logaritma diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.
Perlu diingat bahwa pada definisi eksponen: ax = c
Dari sini dapat ditarik hubungan sebabagi berikut:
1. a x = ……. dikenal dengan operasi perpangkatan / eksponen.
2. (….)x = c dikenal dengan operasi bentuk akar.
3. a (….) = c alog c = …... dikenal dengan operasi logaritma.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa antara bentuk pangkat/eksponen dengan bentuk logaritma memiliki korelasi yang erat.
Definisi: Logaritma suatu bilangan c untuk bilangan pokok/basis a, adalah eks- ponen bilangan berpangkat yang menghasilkan c jika a dipangkatkan dengan eksponen tersebut, dimana a > 0 , a 1 dan c > 0.
a log c = x ax = c
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan nilai yang pasti di antara beberapa model logaritma berikut ini:
Masalah 12 : Tentukan nilai dari : a. 2log 8 b. 10log 10000 c. 9
LKS-Mat.X-07
Penyelesaian:
a. 2log 8 = 3 , sebab 23 = 8
b. 10log 10000 = ……. , sebab 10….. = 10000
c. 9 = …….. , sebab = ……..
Pada dasarnya logaritma dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu:
1. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan real:
1.1. Untuk bil. Pokok a = 10 10log c biasa ditulis log c
1.2. Untuk bil. Pokok selain 10 alog c , missalnya: 2log 3
Konsep ini dikenalkan oleh Robert Briggs dan biasa disebut sebagai Logaritma Briggs.
2. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan natural/alam (e = 1,7218….. )
elog c biasa ditulis ln c (dibaca Lon c)
Konsep ini dikenalkan oleh John Napier dan biasa dikenal dengan Logaritma Natural.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti (sifat-sifat) di antara beberapa pola berikut ini:
Dari definisi : a log c = x ax = c didapat ax = a = …..
Sehingga berlaku:
Sifat 1 : a = c ,
Sederhanakan:
Masalah 13 : Tentukan bentuk lain dari : a. alog x + alog y b. alog x - alog y c. alog xp
Penyelesaian:
a. alog x + alog y, missal : p = alog x maka sesuai definisi didapat a…. = x
q = alog y maka sesuai definisi didapat aq = …..
sehingga x.y = ap . a….. = a….. + ….. maka : a log (…. …..) = p + …..
Sehingga berlaku: Sifat 2 : a log x.y = alog …. + alog ….
Sederhanakan: 3 log 15 jika diketahui 3 log 5 = a
3 log 15 = 3 log (….. x …..) = 3log ….. + 3 log ….. = 1 + ……..
b. alog x - alog y , dengan cara yang sama didapat:
= = maka a log = …. - …..
Sehingga berlaku:
Sifat 3 : a log = alog …. - alog ….
Sederhanakan: 4 log 8 jika diketahui 4 log 2 = a
4 log 8 = 3 log = 4 log …. - 4 log …. = 4 log (….)2 – 4 log ….. = 2 4 log … - a = …. –a
LKS-Mat.X-08
p faktor
c. alog xp = a log ( x . x . x . ….. . x ) = a log x + a log x + …….. + a log x = ….. a log x
p suku
Sehingga berlaku:
Sifat 4 : a log xp = ….. alog x
Sederhanakan: 2 log 32 = ……………
2 log 32 = 2 log (….)5 = (….) 2log ….. = …….
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Sederhanakan bentuk logaritma di bwah ini:
a. 6 log 8 – 6 log 2 + 6 log 9 c. 3 log 81 – 3 log 9 e. 5 log 100 – 2. 5 log 2
b. 3 log 38 + 3 log d. 2log 2 + 2log 3 + 2log 5 + 2log 7 – 2log 105
2. Sederhanakanlah:
a. log x4 – 3. log x + log 1/x c. log x + log y - log x y
b. 2 log - . 2 log 3 d. . 10 log 10 + 3 . 10 log
3. Hitunglah bentuk-bentuk di bawah ini:
a. 3 log 275 b. 16 log 8 c. d. 25 log e. 8 log 4-19
4. Tentukan nilai x yang memenuhi tiap persamaan berikut:
a. 8 - a log 4 – a log = a log x b. 4 . 2 log x = 2 log 81
Masalah 14 : Buktikan bahwa: a. alog x = c.
b. alog b . blog x = alog x
Penyelesaian: a. alog x = , Bukti: Missal a log x = m maka :
am = x
p log a…. = p log …..
(…) p log a = …. log x
m = = a log x terbukti.
Sehingga berlaku:
Sifat 5 : alog x =
Sederhanakan: 4 log 7 = …… jika diketahui 2 log 7 = b
4 log 7 =
LKS-Mat.X-09
b. alog b.blog x = alog x, Bukti: alog b.blog x = (dari sifat 5)
= , terbukti.
Sehingga berlaku:
Sifat 6 : alog b . blog x = alog x
Sederhanakan: 3 log 36 .6log 9 = ……
3 log 36 .6log 9 = 3 log 6…. .6log 9 = … 3 log 6 .6log 9 = ....3 log ....
= …. x …. = ......
c. , Bukti: ( dari sifat 4 ) .... 1)
Missal : p = (am)….. = …..
Maka a p = b
…….2)
Dari 2) 1) didapat : = (….)
=
Sehingga berlaku:
Sifat 7 :
Sederhanakan: 9 log 8 = …… jika diketahui 3 log 2 = a
9 log 8 =
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
Tunjukan bahwa: a. Jika a log x = y maka
b. p log q +
c. ab log x =
